id:igatoxin さんが id:igatoxin:20040908 に書かれているとおり、収束値は幾何平均である。
で。その証明。但し、計算は省略。
簡単な計算で、両者とも有界単調であることがわかる。そうすると、収束は自明。
しかし。{an}の極限と{bn}の極限が一致することはそれほど自明ではないように思う。
とはいえやはり、計算すれば、{an-bn} が 0 に収束することがわかるので、{an}の極限と{bn}の極限が一致することもわかる。
次項を求める計算が幾何平均を保存することも容易にわかり、しかも幾何平均は常に両者の間にあるので、収束先は幾何平均になる。
というわけなんだが、わかりやすくて綺麗な結果でちょっとうれしい。解けたし。
