またまた思いついた問題

というわけで、そうなるとこんなことを考えたくなる：

以下の条件を満たす関数 f をひとつ求めよ（あるいは, そのような f が存在しないことを示せ）.

a₀, b₀が正の実数であり,
0≦n において
a_n+1 = 算術平均( a_n, b_n )
b_n+1 = f( a_n, b_n )
を満たす時,
a_∞ = b_∞ = 調和平均( a₀, b₀ )
となる.
但し、0＜x, 0＜y の時、f( x, y )=f( y, x ).

調和平均と算術平均は逆もあり。
つまり。
昨日と一昨日の結果は：

• 算術平均と調和平均の間には幾何平均がある。
• 算術平均と幾何平均の間には謎の算術幾何平均がある。

であった。そこで：

• 算術平均とfの間に調和平均がある。fを求めよ。
• 調和平均とgの間に算術平均がある。gを求めよ。

ということ。

もちろん思いついただけ。解いてない。