ふと思いついた問題を書いておく。
c次元のユークリッド空間上に n 個の点を置き、それらを P とする。
L=max{aとbの距離 | a,b∈ P }
S=min{aとbの距離 | a,b∈ P }
とするとき、L/S を最小とするような点の配置を求めよ。
なんて。
n≦c+1 の場合は簡単で、L/S=1 になる。と思うが、それ以外の一般解はとうてい凡人には求まらないので、簡単な場合を考える。
まずは、c=2、つまり平面の場合を考えよう。
n=2 は全部正解。
n=3 は、正三角形。L/S = 1。
n=4 は、たぶん、正方形。L/S = √2
n=5 は、たぶん、正方形の中に一点。L/S = √2。n=4 と同じなのがちょっと気になる。
n=6 は、たぶん、正五角形の中に一点。L/S は、ちょっと考えないとわからない。
n=7 は、正六角形の中に一点かな。どうだろう。そうだとすると、L/S=2。
この問題は、
http://homepage1.nifty.com/kamina/pub/prize/17a.htm
を見て思いついたんだが。
「原点から距離1以下の範囲内にn個の点を置き、２点間の距離の最小値が最大となるように配置せよ」と上記の問題が同じ問題なのかどうかもわからない。
微妙に違う問題のような気がする。
