昨日の続き - 鍋あり谷あり

昨日の問題には、続きがある。

$\sigma=\sqrt{1\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{5\sqrt{6\sqrt{7...}}}}}}}$
$\tau=\sqrt{0!\sqrt{1!\sqrt{2!\sqrt{3!\sqrt{4!\sqrt{5!\sqrt{6!...}}}}}}}$

σ, τ が収束することを示せ

σ/τ の値を求めよ

この問題は、昨日の問題と違って2問とも私に解けたつもりになっている。

それと。
昨日の式＝上記のσはSomos' quadratic recurrence constant - Wikipediaに記述がある*1。日本語にすると、ソモスの再帰二次定数辺りか。

私も数学上の定数を考案して、鍋谷の定数と名付けてみようか知らん。なんて思ったり。

以下、6/16に追記
「σ/τ の値を求めよ」と書いたが、やっぱり意地悪すぎる気がしてきた。
若干ネタバレではあるが「σ=τ であることを示せ」の方がいい。
と今は思う。

*1:ブックマークで指摘をいただいたが、私は私でそれとは独立に発見していた