実数を有理数で近似する

円周率が 22/7 で近似できることは知られているが、e や √2 がどんな有理数で近似できるかはあまり知られていないように思い、そういう趣旨の表を作ってみた。有効桁数の蘭に書かれている (+) と (-) は、その有理数が対象となる実数より大きいか小さいかを示している。

√2 = 1.414214

近い分数	7/5	17/12	41/29	99/70	239/169	577/408	1393/985
小数表示	1.400000	1.416667	1.413793	1.414286	1.414201	1.414216	1.414213
有効桁数	1.99(-)	2.76(+)	3.53(-)	4.29(+)	5.06(-)	5.82(+)	6.59(-)

√3 = 1.732051

近い分数	7/4	19/11	26/15	71/41	97/56	265/153	362/209	989/571	1351/780
小数表示	1.750000	1.727273	1.733333	1.731707	1.732143	1.732026	1.732057	1.732049	1.732051
有効桁数	1.98(+)	2.56(-)	3.13(+)	3.70(-)	4.27(+)	4.85(-)	5.42(+)	5.99(-)	6.56(+)

√5 = 2.236068

近い分数	9/4	29/13	38/17	123/55	161/72	521/233	682/305	2207/987
小数表示	2.250000	2.230769	2.235294	2.236364	2.236111	2.236052	2.236066	2.236069
有効桁数	2.21(+)	2.62(-)	3.46(-)	3.88(+)	4.71(+)	5.13(-)	5.97(-)	6.39(+)

√7 = 2.645751

近い分数	8/3	29/11	37/14	45/17	82/31	127/48	463/175	590/223	717/271	1307/494	2024/765
小数表示	2.666667	2.636364	2.642857	2.647059	2.645161	2.645833	2.645714	2.645740	2.645756	2.645749	2.645752
有効桁数	2.10(+)	2.45(-)	2.96(-)	3.31(+)	3.65(-)	4.51(+)	4.85(-)	5.37(-)	5.71(+)	6.06(-)	6.91(+)

√10 = 3.162278

近い分数	16/5	19/6	98/31	117/37	604/191	721/228
小数表示	3.200000	3.166667	3.161290	3.162162	3.162304	3.162281
有効桁数	1.92(+)	2.86(+)	3.51(-)	4.44(-)	5.08(+)	6.02(+)

π = 3.141593

近い分数	19/6	22/7	289/92	311/99	333/106	355/113
小数表示	3.166667	3.142857	3.141304	3.141414	3.141509	3.141593
有効桁数	2.10(+)	3.40(+)	4.04(-)	4.25(-)	4.58(-)	7.07(+)

e = 2.718282

近い分数	8/3	11/4	19/7	68/25	87/32	106/39	193/71	1071/394	1264/465	1457/536
小数表示	2.666667	2.750000	2.714286	2.720000	2.718750	2.717949	2.718310	2.718274	2.718280	2.718284
有効桁数	1.71(-)	1.93(+)	2.83(-)	3.20(+)	3.76(+)	3.91(-)	4.99(+)	5.55(-)	6.08(-)	6.19(+)

log₁₀2 = 0.301030

近い分数	1/3	2/7	3/10	22/73	25/83	28/93	59/196	146/485
小数表示	0.333333	0.285714	0.300000	0.301370	0.301205	0.301075	0.301020	0.301031
有効桁数	0.97(+)	1.27(-)	2.46(-)	2.95(+)	3.24(+)	3.82(+)	4.50(-)	5.51(+)

log₁₀3 = 0.477121

近い分数	1/2	8/17	9/19	10/21	21/44	52/109	73/153
小数表示	0.500000	0.470588	0.473684	0.476190	0.477273	0.477064	0.477124
有効桁数	1.32(+)	1.86(-)	2.14(-)	2.71(-)	3.50(+)	3.92(-)	5.21(+)

ln(2) = 0.693147

近い分数	2/3	7/10	9/13	52/75	61/88	192/277	253/365	445/642
小数表示	0.666667	0.700000	0.692308	0.693333	0.693182	0.693141	0.693151	0.693146
有効桁数	1.40(-)	2.00(+)	2.92(-)	3.57(+)	4.30(+)	5.04(-)	5.30(+)	5.96(-)

ln(3) = 1.098612

近い分数	9/8	10/9	11/10	56/51	67/61	78/71	557/507	635/578	713/649
小数表示	1.125000	1.111111	1.100000	1.098039	1.098361	1.098592	1.098619	1.098616	1.098613
有効桁数	1.62(+)	1.94(+)	2.90(+)	3.28(-)	3.64(-)	4.72(-)	5.19(+)	5.48(+)	6.06(+)

ln(10) = 2.302585

近い分数	7/3	16/7	23/10	76/33	99/43	175/76	449/195	624/271
小数表示	2.333333	2.285714	2.300000	2.303030	2.302326	2.302632	2.302564	2.302583
有効桁数	1.87(+)	2.13(-)	2.95(-)	3.71(+)	3.95(-)	4.69(+)	5.04(-)	6.05(-)

log₂3 = 1.584963

近い分数	8/5	19/12	65/41	84/53	401/253	485/306	569/359	1054/665
小数表示	1.600000	1.583333	1.585366	1.584906	1.584980	1.584967	1.584958	1.584962
有効桁数	2.02(+)	2.99(-)	3.59(+)	4.45(-)	4.95(+)	5.52(+)	5.57(-)	7.22(-)

γ(オイラー数) = 0.577216

近い分数	3/5	4/7	11/19	15/26	56/97	71/123	157/272	228/395
小数表示	0.600000	0.571429	0.578947	0.576923	0.577320	0.577236	0.577206	0.577215
有効桁数	1.40(+)	1.99(-)	2.52(+)	3.29(-)	3.74(+)	4.46(+)	4.77(-)	6.08(-)

最初は表中に黄金比も入れていたんだが、フィボナッチの数列があれば事足りるようだし、表が長くなるので割愛した。
表に入れるべき数を探していたんだが、円周率・自然対数の底・オイラーのγ 以外に名のある数を見つけることができなかった。そういうものか。

この数も是非、というようなリクエストに応じるのは簡単なので、何かあればコメントかメールをおねがいします＞読者の皆様