数字四つと四則演算

二月八日のパズル( id:Nabetani:20050208#p1 )の続き。
1〜9 ではなく、1〜20 で総当りしてみたが、1,2,5,8 にかなう組み合わせは見当たらなかった。
惜しかったのは、1,2,5,101,2,4,10*1 で、1〜50 まで作れる。
で。問題。

以下の条件を満たす a,b,c,d は、1,2,5,8 のみであることを証明せよ：

1. 0＜a≦b≦c≦d
2. a,b,c,d は、整数
3. a,b,c,d をひとつずつと四則演算を使うと、1〜51 の整数をすべて作ることができる

ヒント：d≦20 については調査済み。
もちろん、私は証明できてない。

*1:書き写し間違えてたらしい。訂正 2004.2.18。